2013年普通高等学校统一考试试题【江苏卷】
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上.
1、函数的最小正周期为、
【答案】π
【解析】T＝＝＝π、
2、设【为虚数单位】，则复数的模为、
【答案】5
【解析】z＝3－4i，i2＝－1，z＝＝5、
3、双曲线的两条渐近线的方程为、
【答案】
【解析】令：，得、
4、集合共有个子集、
【答案】8
【解析】23＝8、
5、右图是一个算法的流程图，则输出的的值是、
【答案】3
【解析】n＝1，a＝2，a＝4，n＝2；a＝10，n＝3；a＝28，n＝4、
6、抽样统计甲、乙两位设计运动员的5此训练成绩【单位：环】，结果如下：
运动员第一次第二次第三次第四次第五次甲8791908993乙8990918892
则成绩较为稳定【方差较小】的那位运动员成绩的方差为、
【答案】2
【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：、
方差为：、
7、现在某类病毒记作，其中正整数，【，】可以任意选取，则
都取到奇数的概率为、
【答案】
【解析】m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则都取到奇数的概率为、
8、如图，在三棱柱中，分别是的中点，设三棱锥的体积为，三棱柱的体积为，则、
【答案】1：24
【解析】三棱锥与三棱锥的相似比为1：2，故体积之比为1：8、
又因三棱锥与三棱柱的体积之比为1：3、所以，三棱锥与三棱柱的体积之比为1：24、
9、抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为(包含三角形内部和边界)、若点是区域内的任意一点，则的取值范围是、
【答案】[—2，]
【解析】抛物线在处的切线易得为y＝2x—1，令z＝，y＝—x＋、
画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，zmin＝—2，过点(，0)时，zmax＝、
10、设分别是的边上的点，
若【为实数】，则的值为、
【答案】
【解析】
所以，、
11、已知是定义在上的奇函数.当时，则不等式的解集用区间表示为、
【答案】(﹣5，0)∪(5，﹢∞)
【解析】做出()的图像，如下图所示.由于是定义在上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x＜0的图像.不等式，表示函数y＝的图像在y＝x的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0)∪(5，﹢∞).
12、在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为
右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为、
【答案】
【解析】如图，l：x＝，＝－c＝，由等面积得：＝.若，则＝，整理得：，两边同除以：，得：，解之得：＝，所以，离心率为：、
13、在平面直角坐标系中，设定点，是函数【】图象上一动点，
若点之间的最短距离为，则满足条件的实数的所有值为、
【答案】1或
【解析】
14、在正项等比数列中，则满足的
最大正整数的值为、
【答案】12
【解析】设正项等比数列首项为a1，公比为q，则：，得：a1＝，q＝2，an＝26－n、记，、，则，化简得：，当时，、当n＝12时，当n＝13时，故nmax＝12、
二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、
15、【本小题满分14分】
已知，、
【1】若，求证：；
【2】设，若，求的值、
解：【1】a－b＝(cosα－cosβ，sinα－sinβ)，
a－b2＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2＝2－2(cosα·cosβ＋sinα·sinβ)＝2，
所以，cosα·cosβ＋sinα·sinβ＝0，
所以，、
【2】，①2＋②2得：cos(α－β)＝－、
所以，α－β＝，α＝＋β，
带入②得：sin(＋β)＋sinβ＝cosβ＋sinβ＝sin(＋β)＝1，
所以，＋β＝、
所以，α＝，β＝、
16、【本小题满分14分】
如图，在三棱锥中，平面平面，过作，垂足为，点分别是棱的中点、求证：
【1】平面平面；
【2】、
证：【1】因为SA＝AB且AF⊥SB，
所以F为SB的中点、
又E，G分别为SA，SC的中点，
所以，EF∥AB，EG∥AC、
又AB∩AC＝A，AB面SBC，AC面ABC，
所以，平面平面、
【2】因为平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝BC，
AF平面ASB，AF⊥SB、
所以，AF⊥平面SBC、
又BC平面SBC，
所以，AF⊥BC、
又AB⊥BC，AF∩AB＝A，
所以，BC⊥平面SAB、
又SA平面SAB，
所以，、
17、【本小题满分14分】
如图，在平面直角坐标系中，点，直线、
设圆的半径为，圆心在上、
【1】若圆心也在直线上，过点作圆的切线，
求切线的方程；
【2】若圆上存在点，使，求圆心的横坐
标的取值范围、
解：【1】联立：，得圆心为：C(3，2)、
设切线为：，
d＝，得：、
故所求切线为：、
【2】设点M(x，y)，由，知：，
化简得：，
即：点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D、
又因为点在圆上，故圆C圆D的关系为相交或相切、
故：1≤CD≤3，其中、
解之得：0≤a≤、
18、【本小题满分16分】
如图，游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行
到，另一种是先从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到、现有甲、乙两
位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为、在甲出发后，乙从
乘缆车到，在处停留后，再从匀速步行到、假设缆车匀速直线运动的
速度为，山路长为，经测量，、
【1】求索道的长；
【2】问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短ext>
【3】为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟，
乙步行的速度应控制在什么范围内ext>
解：【1】如图作BD⊥CA于点D，
设BD＝20k，则DC＝25k，AD＝48k，
AB＝52k，由AC＝63k＝1260m，
知：AB＝52k＝1040m、
【2】设乙出发x分钟后到达点M，
此时甲到达N点，如图所示、
则：AM＝130x，AN＝50(x＋2)，
由余弦定理得：MN2＝AM2＋AN2－2AM·ANcosA＝7400x2－14000x＋10000，
其中0≤x≤8，当x＝(min)时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短、
【3】由【1】知：BC＝500m，甲到C用时：＝(min)、
若甲等乙3分钟，则乙到C用时：＋3＝(min)，在BC上用时：(min)、
此时乙的速度最小，且为：500÷＝m/min、
若乙等甲3分钟，则乙到C用时：－3＝(min)，在BC上用时：(min)、
此时乙的速度最大，且为：500÷＝m/min、
故乙步行的速度应控制在[，]范围内、
19、【本小题满分16分】
设是首项为，公差为的等差数列，是其前项和、记，
其中为实数、
【1】若，且成等比数列，证明：【】；
【2】若是等差数列，证明：、
证：【1】若，则，、
当成等比数列，
即：，得：，又，故、
由此：，、
故：【】、
【2】，
、(※)
若是等差数列，则型、
观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：，即，而≠0，
故、
经检验，当时是等差数列、
20、【本小题满分16分】
设函数，其中为实数、
【1】若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；
【2】若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论、
解：【1】≤0在上恒成立，则≥，、
故：≥1、
若1≤≤e，则≥0在上恒成立，
此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；
若＞e，则在上是单调减函数，在上是单调增函数，满足、
故的取值范围为：＞e、
【2】≥0在上恒成立，则≤ex，
故：≤、
、
(ⅰ)若0＜≤，令＞0得增区间为(0，)；
令＜0得减区间为(，﹢∞)、
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹣∞；
当x＝时，f()＝﹣lna－1≥0，当且仅当＝时取等号、
故：当＝时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点、
(ⅱ)若a＝0，则f(x)＝﹣lnx，易得f(x)有1个零点、
(ⅲ)若a＜0，则在上恒成立，
即：在上是单调增函数，
当x→0时，f(x)→﹣∞；当x→﹢∞时，f(x)→﹢∞、
此时，f(x)有1个零点、
综上所述：当＝或a＜0时，f(x)有1个零点；当0＜＜时，f(x)有2个零点、
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